如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴-优题课

如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

"生活垃圾分类"逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对"生活垃圾分类"的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为" $A$ ．很有必要"" $B$ ．有必要"" $C$ ．无所谓"" $D$ ．没有必要"四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）扇形统计图中" $D$ ．没有必要"所在扇形的圆心角度数为　　；

（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对"生活垃圾分类"认为" $A$ ．很有必要"的学生人数．

随着"新冠肺炎"疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立"防疫志愿者服务队"，设立四个"服务监督岗"：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．

（1）李老师被分配到"洗手监督岗"的概率为　　；

（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．

先化简，再求值： $(\frac{4 - x}{x - 1} - x) \div \frac{x - 2}{x - 1}$ ，请在 $0 ⩽ x ⩽ 2$ 的范围内选一个合适的整数代入求值．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $B (6, 0)$ 和点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $OC$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到线段 $OD$ ．过点 $B$ 作射线 $BD$ ，点 $M$ 是射线 $BD$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $NM$ ， $NB$ ．

①直接写出 $ΔMBN$ 的形状为　　；

②设 $ΔMBN$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔODB$ 的面积为是 $S_{2}$ ．当 $S_{1} = \frac{2}{3} S_{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $BE ⊥ BN$ ，交 $NM$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $BE$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $BF$ ，过点 $F$ 作 $FK / / x$ 轴，交射线 $BE$ 于点 $K$ ， $∠ KBF$ 的角平分线和 $∠ KFB$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $BG = 2 \sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为　　．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = α$ ，点 $P$ 为线段 $CA$ 延长线上一动点，连接 $PB$ ，将线段 $PB$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $PD$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图1，当 $α = 60 °$ 时，

①求证： $PA = DC$ ；

②求 $∠ DCP$ 的度数；

（2）如图2，当 $α = 120 °$ 时，请直接写出 $PA$ 和 $DC$ 的数量关系．

（3）当 $α = 120 °$ 时，若 $AB = 6$ ， $BP = \sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $CP$ 的距离为　　．