定义:若各项为正实数的数列满足
,则称数列
为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足
且
点
在二次函数
的图像上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列
是等比数列,并求出通项公式
;
(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项
,把这些项重新组成一个新数列
:
.若数列
是首项为
、公比为
的无穷等比数列,且数列
各项的和为
,求正整数
的值.
(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,底面
为直角三角形,且
,
底面
,且
,点
是
的中点,
且交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)当时,求二面角
的余弦值.
(本小题满分12分)某工厂生产、
两种元件,某质量按测试指标划分,指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:
(1)试依据以频率估计概率的统计思想,分别估计元件,元件
为正品的概率;
(2)生产一件元件,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件
,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元,在(1)的前提下:
(i)记为生产一件元件
和1件元件
所得的总利润,求随机变量
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5件元件所获得的利润不少于140元的概率.
(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列的前
项和为
,对任意
,总有
成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列
的前
项和
.
(本小题满分10)已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
(本小题共14分)已知定义在上的函数
(1)求证:存在唯一的零点,且零点属于(3,4);
(2)若,且
对任意的
1恒成立,求
的最大值.