星期天，张琪的妈妈和张琪做了一个小游戏．张琪的妈妈说：你现在-优题课

如图，以 $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 交斜边 $AC$ 于点 $D$ ，过圆心 $O$ 作 $OE / / AC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系并说明理由；

（2）求证： $2 D E^{2} = CD \cdot OE$ ；

（3）若 $\tan C = \frac{4}{3}$ ， $DE = \frac{5}{2}$ ，求 $AD$ 的长．

某商场计划购进 $A$ ， $B$ 两种型号的手机，已知每部 $A$ 型号手机的进价比每部 $B$ 型号手机进价多500元，每部 $A$ 型号手机的售价是2500元，每部 $B$ 型号手机的售价是2100元．商场用50000元共购进 $A$ 型号手机10部， $B$ 型号手机20部．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号的手机每部进价各是多少元？

（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的手机共40部，且 $A$ 型号手机的数量不少于 $B$ 型号手机数量的2倍．

①该商场有哪几种进货方式？

②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？

如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 $AC$ 的高为11米，灯杆 $AB$ 与灯柱 $AC$ 的夹角 $∠ A = 120 °$ ，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 $DE$ 长为18米，从 $D$ ， $E$ 两处测得路灯 $B$ 的仰角分别为 $α$ 和 $β$ ，且 $\tan α = 6$ ， $\tan β = \frac{3}{4}$ ，求灯杆 $AB$ 的长度．

为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数） $:$

组别	成绩分组	频数	频率
1	$47.5 ~ 59.5$	2	0.05
2	$59.5 ~ 71.5$	4	0.10
3	$71.5 ~ 83.5$	$a$	0.2
4	$83.5 ~ 95.5$	10	0.25
5	$95.5 ~ 107.5$	$b$	$c$
6	$107.5 ~ 120$	6	0.15
合计		40	1.00

根据表中提供的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　　，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　　，及格的百分比约为　　；

（3）补充完整频数分布直方图．

如图，已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $BC$ 上的点， $AE = CF$ ，并且 $∠ AED = ∠ CFD$ ．

求证：（1） $ΔAED ≅ ΔCFD$ ；

（2）四边形 $ABCD$ 是菱形．