推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以-优题课

推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点， $ΔABC$ 的三个顶点均在格点上．

（1）将 $ΔABC$ 先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 3)$ ；

（3）在（2）的条件下，直接写出点 $A_{1}$ 的坐标．

已知： $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转得到△ $A' B' C$ ，记旋转角为 $α$ ，当 $90 ° < α < 180 °$ 时，作 $A' D ⊥ AC$ ，垂足为 $D$ ， $A' D$ 与 $B' C$ 交于点 $E$ ．

（1）如图1，当 $∠ CA' D = 15 °$ 时，作 $∠ A' EC$ 的平分线 $EF$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

①写出旋转角 $α$ 的度数；

②求证： $EA' + EC = EF$ ；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$ 是直线 $A' D$ 上的一个动点，连接 $PA$ ， $PF$ ，若 $AB = \sqrt{2}$ ，求线段 $PA + PF$ 的最小值．（结果保留根号）

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点为 $A (4, 3)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0, - 5)$ ，对称轴为直线 $l$ ，点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$ 的坐标并求直线 $AB$ 的表达式；

（3）设动点 $P$ ， $Q$ 分别在抛物线和对称轴 $l$ 上，当以 $A$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$ ， $Q$ 两点的坐标．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，以 $BC$ 边为直径作半圆 $O$ ， $OE ⊥ OA$ 交 $CD$ 边于点 $E$ ，对角线 $AC$ 与半圆 $O$ 的另一个交点为 $P$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $AE$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）若 $PA = 2$ ， $PC = 4$ ，求 $AE$ 的长．

为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的 $5.6 %$ ，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？