在Rt△ABC中，∠ACB90°，BC30，AB50．点P是-优题课

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．
（1）如图，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，

①求证：△AEP∽△ABC
②设AP=x，求MP的长（用含x的代数式表示）
（2）若△AME∽△ENB，求AP的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间 $t$ （单位： $h$ ），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为 $0 \leq t ＜ 1$ ，B组为 $1 \leq t ＜ 2$ ，C组为 $2 \leq t ＜ 3$ ，D组为 $3 \leq t ＜ 4$ ，E组为 $4 \leq t ＜ 5$ ，F组为 $t \geq 5$ ．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于 $3 h$ 的人数．

如图，点B，F，C，E在同一条直线上， $B F ＝ E C$ ， $A B ＝ D E$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ ．求证： $∠ A ＝ ∠ D$ ．

在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M （ a ， b ）$ ，N．

对于点P给出如下定义：将点P向右 $（ a \geq 0 ）$ 或向左 $（ a ＜ 0 ）$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $（ b \geq 0 ）$ 或向下 $（ b ＜ 0 ）$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点 $M （ 1 ， 1 ）$ ，点N在线段OM的延长线上．若点 $P （ ﹣ 2 ， 0 ）$ ，点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证： $N T = \frac{1}{2} O M$ ；

（2）⊙O的半径为 $1$ ，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且 $O N ＝ t （ \frac{1}{2} ＜ t ＜ 1 ）$ ，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

在△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得 $C E ＝ D C$ ．

（1）如图1，延长BC到点F，使得 $C F ＝ B C$ ，连接AF，EF．若 $A F ⊥ E F$ ，求证： $B D ⊥ A F$ ；

（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若 $A B^{2} ＝ A E^{2} + B D^{2}$ ，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $（ 1 ， m ），（ 3 ， n ）$ 在抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＞ 0 ）$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x ＝ t$ ．

（1）当 $c ＝ 2 ， m ＝ n$ 时，求抛物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值；

（2）点 $（ x_{0} ， m ）（ x_{0} \neq 1 ）$ 在抛物线上．若 $m ＜ n ＜ c$ ，求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．