已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，-优题课

如图，在 $Rt Δ ACB$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3 cm$ ， $BC = 4 cm$ ，以 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ．

（1）求线段 $AD$ 的长度；

（2）点 $E$ 是线段 $AC$ 上的一点，试问：当点 $E$ 在什么位置时，直线 $ED$ 与 $⊙ O$ 相切？请说明理由．

现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

步数	频数	频率
$0 ⩽ x < 4000$	8	$a$
$4000 ⩽ x < 8000$	15	0.3
$8000 ⩽ x < 12000$	12	$b$
$12000 ⩽ x < 16000$	$c$	0.2
$16000 ⩽ x < 20000$	3	0.06
$20000 ⩽ x < 24000$	$d$	0.04

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

如图，一次函数 $y = kx + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n$ 为常数，且 $n \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ． $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 2 OA = 3 OD = 12$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为 $E$ ，求 $ΔCDE$ 的面积；

（3）直接写出不等式 $kx + b ⩽ \frac{n}{x}$ 的解集．

如图，在 $4 \times 4$ 的方格纸中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中，画出一个与 $ΔABC$ 成中心对称的格点三角形；

（2）在图2中，画出一个与 $ΔABC$ 成轴对称且与 $ΔABC$ 有公共边的格点三角形；

（3）在图3中，画出 $ΔABC$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 后的三角形．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，过点 $B$ 的直线 $y = kx + \frac{2}{3}$ 分别与 $y$ 轴及抛物线交于点 $C$ ， $D$ ．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，在 $x$ 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $ΔPDC$ 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$ 的值；

（3）如图2，将直线 $BD$ 沿 $y$ 轴向下平移4个单位后，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $E$ ， $F$ 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，在直线 $EF$ 上是否存在点 $N$ ，使 $DM + MN$ 的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$ ， $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．