已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．求证：∠OB-优题课

如图，直线 $y = 3 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标是1．

（1）求点 $A$ 的坐标及双曲线的解析式；

（2）点 $B$ 是双曲线上一点，且点 $B$ 的纵坐标是1，连接 $OB$ ， $AB$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．

在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．

（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元 $/$ 枝，玫瑰进价为1.5元 $/$ 枝，问至少购进玫瑰多少枝？

随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了　　名学生；在扇形统计图中，表示“ $QQ$ ”的扇形圆心角的度数为　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？

（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“ $QQ$ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 5, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E (x, y)$ 为抛物线上一点，且 $- 5 < x < - 2$ ，过点 $E$ 作 $EF / / x$ 轴，交抛物线的对称轴于点 $F$ ，作 $EH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，得到矩形 $EHDF$ ，求矩形 $EHDF$ 周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$ ，使以点 $P$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $BD$ 上一点，点 $F$ ， $G$ 在直线 $BC$ 上，且 $BE = EG$ ， $∠ AEF = ∠ BEG$ ．

（1）如图1，求证： $ΔABE ≅ ΔFGE$ ；

（2）如图2，当 $∠ ABC = 120 °$ 时，求证： $AB = BE + BF$ ；

（3）如图3，当 $∠ ABC = 90 °$ ，点 $F$ 在线段 $BC$ 上时，线段 $AB$ ， $BE$ ， $BF$ 的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）