已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $O$ 是边 $BC$ 的中点，延长 $BA$ 到点 $D$ ，使 $AD = AB$ ，延长 $CA$ 到点 $E$ ，使 $AE = AC$ ，连接 $OD$ ， $OE$ ，求证： $∠ BOE = ∠ COD$ ．

如图，已知正方形 $ABCD$ ，请用尺规作图法，在边 $BC$ 上求作一点 $P$ ，使 $∠ PAB = 30 °$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

解方程： $\frac{x - 3}{x + 3} = 2 - \frac{x}{x - 3}$ ．

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | 2 - \sqrt{5} | + \sqrt{2} \times (- \sqrt{8})$ ．

问题提出

（1）如图①， $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 12$ ，若点 $O$ 是 $ΔABC$ 的内心，则 $OA$ 的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12$ ， $AD = 18$ ，如果点 $P$ 是 $AD$ 边上一点，且 $AP = 3$ ，那么 $BC$ 边上是否存在一点 $Q$ ，使得线段 $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 的面积平分？若存在，求出 $PQ$ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由 $ΔABM$ 草地和弦 $AB$ 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 $M$ 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于 $∠ AMB$ （即每次喷灌时喷灌龙头由 $MA$ 转到 $MB$ ，然后再转回，这样往复喷灌． $)$ 同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 $AB = 24 m$ ， $MB = 10 m$ ， $ΔAMB$ 的面积为 $96 m^{2}$ ；过弦 $AB$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $E$ ，又测得 $DE = 8 m$ ．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）