对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同，那么-优题课

对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如：如图①，△ABC∽△A/B/C/，且沿周界ABCA与A/B/C/A/环绕的方向相同，因此△ABC与△A/B/C/互为顺相似；如图②△ABC∽△A^/B^/C^/，且沿周界ABCA与A^/B^/C^/A^/环绕的方向相反，因此△ABC与△A^/B^/C^/互为逆相似；

根据图Ⅰ、图Ⅱ、图Ⅲ满足的条件，可分别得下列三对相似三角形：
①△ADE与△ABC;②△FGH与△FNM③△OSK与△OQP．其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是。（填写所有符合要求的序号）

（2）如下图在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与A、B、C重合）过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。（请至少画出三种截法）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，正方形 $ABCD$ 和正方形 $CEFG$ （其中 $BD > 2 CE)$ ， $BG$ 的延长线与直线 $DE$ 交于点 $H$ ．

（1）如图1，当点 $G$ 在 $CD$ 上时，求证： $BG = DE$ ， $BG ⊥ DE$ ；

（2）将正方形 $CEFG$ 绕点 $C$ 旋转一周．

①如图2，当点 $E$ 在直线 $CD$ 右侧时，求证： $BH - DH = \sqrt{2} CH$ ；

②当 $∠ DEC = 45 °$ 时，若 $AB = 3$ ， $CE = 1$ ，请直接写出线段 $DH$ 的长．

在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 $30 %$ 和 $20 %$ ，只花费了260元．

（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？

（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？

在"尚科学，爱运动"主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就"一分钟跳绳"进行测试，并将测试成绩 $x$ （单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：

组别	成绩 $x$ （单位：次）	人数
$A$	$70 ⩽ x < 90$	4
$B$	$90 ⩽ x < 110$	15
$C$	$110 ⩽ x < 130$	18
$D$	$130 ⩽ x < 150$	12
$E$	$150 ⩽ x < 170$	$m$
$F$	$170 ⩽ x < 190$	5

（1）本次测试随机抽取的人数是　　人， $m =$ 　　；

（2）求 $C$ 等级所在扇形的圆心角的度数；

（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A$ $(4, 4)$ ， $B$ $(1, 1)$ ， $C$ $(4, 1)$ ．

（1）画出与 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $O_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $A A_{2}$ 弧是点 $A$ 所经过的路径，则旋转中心 $O_{1}$ 的坐标为　　；

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．