（本小题满分14分）已知函数
（1）求
的单调区间和极值；
（2）设
，若
在
上不单调且仅在
处取得最大值，求
的取值范围；
（3）当
时，探究当
时，函数
的图像与函数
图像之间的关系，并证明你的结论．
已知椭圆
的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线
的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过定点
且斜率不为0的直线
交椭圆于
两点，试问在
轴上是否存在一个定点
使得
始终平分
？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，正三棱锥
的所有棱长都为2，
．
（1）当
时，求证：
平面
；
（2）当二面角
的大小为
时，求实数
的值．
威力实施“爱的教育”实践活动，宇华教育集团决定举行“爱在宇华”教师演讲比赛．焦作校区决定从高中部、初中部、小学部和幼教部这四个部门选出12人组成代表队代表焦作校区参赛，选手来源如下表：
| 部门 |
高中部 |
初中部 |
小学部 |
幼教部 |
| 人数 |
4 |
4 |
2 |
2 |
焦作校区选手经过出色表现获得冠军，现要从中选出两名选手代表冠军队发言．
（1）求这两名队员来自同一部门的概率；
（2）设选出的两名选手中来自高中部的人数为
，求随机变量的分布列及数学期望
．
已知等差数列
的各项互不相等，前两项的和为10，设向量
，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）若
的前
项和为
，求证：
在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，圆
过
点与点，且圆心到抛物线
的准线的距离为
．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点
，过点
作抛物线的两条弦
和
，且
，判断直线
是否过定点？并说明理由．