已知函数，是取中较小者．（1）求的单调区间和极值；（2）若对-优题课

题文

已知函数，是取中较小者．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围．

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已知0＜a＜的最小正周期， $向量 a = （ \tan （ α + β / 4 ）， - 1), 向量 b = （ \cos α ， 2 ），且向量 a \times 向量 b = m ，$ 求 $\frac{2 \cos^{2} α + \sin 2 (α + β)}{\cos α - \sin α}$ .

已知函数 $f (x) = x^{2 t} - 2 t (x^{2} + x) + x^{2} + 2 t^{2} + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} f (x)$ ．
（I）证明：当 $t < 2 \sqrt{2}$ 时， $g (x)$ 在 $R$ 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a, b]$ ，试说明存在实数 $k$ ，当 $t > k$ 时， $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数；
（III）证明： $f (x) \geq \frac{3}{2}$ ．

已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $x \in R$ 满足条件： $a_{n} = b_{n}$ ， $f (b_{n}) = g (b_{n + 1})$ .( $n \in N^{*}$ )

（I）若 $f (x) \geq t x + 1, t \neq 0, t \neq 2,$ $g (x) = 2 x$ ， $f (b) \neq g (b)$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ 存在，求 $x$ 的取值范围；
（II）若函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的增函数， $g (x) = f^{- 1} (x)$ ， $b = 1$ ， $f (1) < 1$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ （用 $t$ 表示）．

已知正三角形 $O A B$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $O A B$ 的内接圆（点 $C$ 为圆心）
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设圆 $M$ 的方程为 ${(x - 4 - 7 \cos θ)}^{2} + {(y - 7 \cos θ)}^{2} = 1$ ，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $P E, P F$ ，切点为 $E, F$ ，求 $\overset{⇀}{C E}, \overset{⇀}{C F}$ 的最大值和最小值．

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C = \frac{q^{3}}{3} - 3 q^{2} + 20 q + 10 (q > 0)$ 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系式如下表所示：

设 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 $ξ_{k}$ ，表示当产量为 $q$ ，而市场前景无法确定的利润．
(I)分别求利润 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 与产量 $q$ 的函数关系式；
(II)当产量 $q$ 确定时，求期望 $E ξ_{k}$ ；
(III)试问产量 $q$ 取何值时， $E ξ_{k}$ 取得最大值．

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