（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知△ABC中，
，D为△ABC 外接圆劣弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
．
（本小题满分13分）设函数
，对于任意给定的
位自然数
（其中
是个位数字，
是十位数字，
），定义变换
：
. 并规定
．记
，
，， 
，．
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）当
时，证明：对于任意的
位自然数
均有
；
（Ⅲ）如果
，写出
的所有可能取值.（只需写出结论）
（本小题满分14分）已知椭圆C：
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点
满足条件
.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记
和
的面积分别为
，
，求证：
.
（本小题满分13分）已知函数
和
的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.
（Ⅰ）若点P的坐标为
，求
的值；
（Ⅱ）已知
，求切点P的坐标.
（本小题满分14分）如图，在四棱柱
中，
底面
，
，
，且
，点E在棱AB上，平面
与棱
相交于点F.
（Ⅰ）证明：
∥平面
；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积的最大值.
（本小题满分13分）
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
| 投资结果 |
获利40% |
不赔不赚 |
亏损20% |
| 概率 |
 |
 |
 |
（2）购买基金：
| 投资结果 |
获利20% |
不赔不赚 |
亏损10% |
| 概率 |
 |
 |
 |
（Ⅰ）当
时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求
的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知
，
，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．