如图，为某湖中观光岛屿，是沿湖岸南北方向道路，为停车场，，某-优题课

如图，为某湖中观光岛屿，是沿湖岸南北方向道路，为停车场，
，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场，已知游船以的速度沿方位角的
方向行驶，．游船离开观光岛屿分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时
赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小艇先到达湖岸南北大道处，然后乘景区电动出租车到
停车场处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车）．游客甲乘小艇行驶的
方位角是，电动出租车的速度为．

（Ⅰ）设，问小艇的速度为多少时，游客甲才能与游船同时到达点；
（Ⅱ）设小艇速度为，请你替该游客设计小艇行驶的方位角，当角的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．

科目数学题型解答题难度较难

设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x - 1 (a < 0) .$ 若曲线 $y = f (x)$ 的斜率最小的切线与直线 $12 x + y = 6$ 平行，求：

（Ⅰ） $a$ 的值;

（Ⅱ）函数 $f (x)$ 的单调区间.

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ .已知 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} bc$ ，求：

（Ⅰ） $A$ 的大小;

（Ⅱ） $2 \sin B \cos C - \sin (B - C)$ 的值.

已知函数 $f (x) = \ln^{2} (1 + x) - \frac{x^{2}}{1 + x}$ .

( I ) 求函数 $f (x)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{a + a} \leq e$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立（其中 $e$ 是自然对数的底数）.求 $α$ 的最大值.

若 $A 、 B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的不同两点, 弦 $AB$ (不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ , 则称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条 "相关弦".已知当 $x > 2$ 时，点 $P (x, 0)$

存在无穷多条 "相关弦" .给定 $x_{0} > 2$ .

(I) 证明：点 $P (x_{0}, 0)$ 的所有"相关弦"的中点的横坐标相同;

(II) 试问：点 $P (x_{0}, 0)$ 的"相关弦"的弦长中是否存在最大值?若存在, 求其最大值（用 $x_{0}$ 表示)：若不存在, 请说明理由.

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