已知：AD是△ABC的高，AD，AB4，tan∠ACD，求B-优题课

把 ${(\sin α)}^{2}$ 记作 $\sin^{2} α$ ，根据图1和图2完成下列各题．

（1） $\sin^{2} A_{1} + \cos^{2} A_{1} =$ 　　， $\sin^{2} A_{2} + \cos^{2} A_{2} =$ 　　， $\sin^{2} A_{3} + \cos^{2} A_{3} =$ 　　；

（2）观察上述等式猜想：在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，总有 $\sin^{2} A + \cos^{2} A =$ 　　；

（3）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中证明（2）题中的猜想：

（4）已知在 $ΔABC$ 中， $∠ A + ∠ B = 90 °$ ，且 $\sin A = \frac{12}{13}$ ，求 $\cos A$ ．

赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点 $A$ 驶向终点 $B$ ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）起点 $A$ 与终点 $B$ 之间相距多远？

（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？

（3）分别求甲、乙两支龙舟队的 $y$ 与 $x$ 函数关系式；

（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？

今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：

（1）参加抽样调查的居民有多少人？

（2）将两幅不完整的统计图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃 $D$ 粽的人数．

（4）若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 $C$ 粽的概率．

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点， $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于 $E$ ， $⊙ O$ 的切线交 $AD$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证：直线 $DE$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）已知 $DG ⊥ AB$ 且 $DE = 4$ ， $⊙ O$ 的半径为5，求 $\tan ∠ F$ 的值．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，并与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $M$ 是抛物线对称轴 $l$ 上任意一点（点 $M$ ， $B$ ， $C$ 三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，使得△ $M P_{1} P_{2}$ 与 $ΔMCB$ 全等，并求出点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ BQC$ 为直角，若存在，作出点 $Q$ （用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点 $Q$ 的坐标．