（本小题满分12分）已知椭圆C：（a<b<0）的焦距为4，其-优题课

题文

（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

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袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin B (\tan A + \tan C) = \tan A \tan C$ .
(Ⅰ)求证： $a, b, c$ 成等比数列；
(Ⅱ)若 $a = 1, c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$ .
(Ⅰ)当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) ⩾ 3$ 的解集；
(Ⅱ) 若 $f (x) ⩽ |x - 4|$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{matrix}$ （ $φ$ 是参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ :的极坐标方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ .
(Ⅰ)求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

如图， $D, E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外接圆与 $F, G$ 两点，若 $C F / / A B$ ，证明：

(Ⅰ) $C D = B C$ ;
(Ⅱ) $△ B C D \approx △ G B D$ .

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