(本题满分12分)某种有奖销售的小食品,袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样,购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。
(1)求三位同学都没有中奖的概率;
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
设函数
(其中
).
(Ⅰ) 当
时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最大值
.
已知抛物线
的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点
(Ⅰ) 求抛物线
的方程;
(Ⅱ) 当点
为直线上的定点时,求直线
的方程;
(Ⅲ) 当点
在直线
上移动时,求
的最小值.
设数列
的前
项和为
.已知
.
(Ⅰ) 求
的值;
(Ⅱ) 求数列
的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数
,有
.
如图①,在等腰直角三角形
中,
,
,
分别是
上的点,
,
为
的中点.将
沿
折起,得到如图②所示的四棱锥
,其中
.
(Ⅰ) 证明:
;
(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值.
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.