计算：（2a2）3•a-优题课

如图， $E, F, G, H$ 分别是四边形 $ABCD$ 各边中点.

（1）若四边形 $ABCD$ 是任意四边形、则四边形 $EFGH$ 是怎样的四边形?

（2）若四边形 $ABCD$ 是矩形，则四边形 $EFGH$ 是怎样的四边形?

（3）若四边形 $ABCD$ 分別菱形、正方形、等腰梯形时，则四边形 $EFGH$ 又分别是怎样的四边形?

（4）若四边形 $EFGH$ 是矩形，则四边形 $ABCD$ 有什么特征?

（5）若四边形 $EFGH$ 分别是菱形、正方形时，则四边形 $ABCD$ 又有什么特征?

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在正方形的四条边上，已知 $EF / / GH$ ， $E F = G H$ .

（1）若 $AE = AH = \frac{1}{3} a$ ，求四边形 $EFGH$ 的周长和面积；

（2）求四边形 $EFGH$ 的周长的最小值.

已知正方形 $ABCD$ 中， $∠ MAN = 45^{\circ} ， ∠ MAN$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，它的两边分别交 $CB ， DC$ （或它们的延长线）于点 $M ， N$ .当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转得到 $BM = DN$ 时（如图1），易证 $BM + DN = MN$ .

（1）当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转到 $BM \neq DN$ 时（如图2），线段 $BM ， DN$ 和 $MN$ 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；

（2）当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转到如图3的位置时，线段 $BM ， DN$ 和 $MN$ 之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由.

如图，将边长为 $12 cm$ 的正方形 $ABCD$ 折叠，使得 $A$ 点落在 $CD$ 上的 $E$ 点，然后压平得折痕 $FG$ ，若 $FG = 13 cm$ ，求线段 $CE$ 之长.

以四边形 $ABCD$ 的边 $AB ， BC ， CD ， DA$ 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E ， F ， G ， H$ ，顺次连接这四个点，得四边形 $EFGH$ .

（1）如图①，当四边形 $ABCD$ 为正方形时，我们发现四边形 $EFGH$ 是正方形；

如图②，当四边形 $ABCD$ 为矩形时，请判断：四边形 $EFGH$ 的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $ABCD$ 为一般平行四边形时，设 $∠ ADC = α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ .

①试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ HAE$ ；

②求证： $HE = HG$ ；

③四边形 $EFGH$ 是什么四边形?并说明理由.