如图，矩形纸片ABCD的边长AB4，AD2．将矩形纸片沿EF-优题课

如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色．
（1）GC的长为2 ，FG的长为；
（2）着色面积为；
（3）若点P为EF边上的中点，则CP的长为．

科目数学题型解答题难度中等

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A$ $(4, 4)$ ， $B$ $(1, 1)$ ， $C$ $(4, 1)$ ．

（1）画出与 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $O_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $A A_{2}$ 弧是点 $A$ 所经过的路径，则旋转中心 $O_{1}$ 的坐标为　　；

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 \sqrt{3} x + c (a \neq 0)$ 过点 $O (0, 0)$ 和 $A (6, 0)$ ．点 $B$ 是抛物线的顶点，点 $D$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一点，连接 $OB$ ， $OD$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当 $∠ BOD = 30 °$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，交线段 $OD$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是线段 $OB$ 上的动点（点 $F$ 不与点 $O$ 和点 $B$ 重合），连接 $EF$ ，将 $ΔBEF$ 沿 $EF$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ， $ΔEF B^{'}$ 与 $ΔOBE$ 的重叠部分为 $ΔEFG$ ，在坐标平面内是否存在一点 $H$ ，使以点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，射线 $AB$ 和射线 $CB$ 相交于点 $B$ ， $∠ ABC = α (0 ° < α < 180 °)$ ，且 $AB = CB$ ．点 $D$ 是射线 $CB$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $AD$ ，并在射线 $AD$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ AEC = α$ ，连接 $CE$ ， $BE$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $CB$ 上， $α = 90 °$ 时，请直接写出 $∠ AEB$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $CB$ 上， $α = 120 °$ 时，请写出线段 $AE$ ， $BE$ ， $CE$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $α = 120 °$ ， $\tan ∠ DAB = \frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{CE}{BE}$ 的值．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AC$ 是对角线， $∠ CAB = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $AB$ 的长为半径作 $⊙ A$ ，交 $BC$ 边于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $DE$ 与 $⊙ A$ 相切；

（2）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 4$ ，求阴影部分的面积．

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