设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则-优题课

设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．
（1）证明函数是定义域上的函数；
（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；
（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平面向量的数量积

已知函数 $f (x) = \frac{a x}{{(x + r)}^{2}} (a > 0, r > 0)$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域，并讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $\frac{a}{r} = 400$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的极值.

设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,点 $O$ 为坐标原点,点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ,点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ,点 $M$ 在线段 $A B$ 上,满足 $|B M| = 2 |M A|$ ,直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .

（Ⅰ）求 $E$ 的离心率 $e$ ;
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0, - b)$ , $N$ 为线段 $A C$ 的中点,证明: $M N ⊥ A B$ .

如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， . $P A = 1, A B = 1, A C = 2, ∠ B A C = 60 °$ .

（Ⅰ）求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段 $P C$ 上存在点 $M$ ，使得 $A C ⊥ B M$ ，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列，且 $a + a_{4} = 9, a_{2} a_{3} = 8$ .

（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50]$ , $[50, 60]$ ,... $[80, 90]$ , $[90, 100]$

（Ⅰ）求频率分布图中 $a$ 的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在 $[40, 60]$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[40, 50]$ 的概率.

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