已知函数，其中常数.（1）求的单调增区间与单调减区间；（2）-优题课

已知函数，其中常数.
（1）求的单调增区间与单调减区间；
（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数.

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{x (1 + λ x)}{1 + x}$ .
（Ⅰ）若 $x \geq 0$ 时, $f (x) \leq 0$ ,求 $λ$ 的最小值；
（Ⅱ）设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ,证明: $a_{2 n} - a_{n} + \frac{1}{4 n} > \ln 2$ .

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为3，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ .
（Ⅰ）求 $a, b$ ；
（Ⅱ）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}| = |B F_{1}|$ ，证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列.

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{°}, B C = 2 A D$ ， $△ P A B$ 和 $△ P A D$ 都是等边三角形.

（Ⅰ）证明： $P B ⊥ C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P D - C$ 的大小.

设 $∆ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求 $C$ .

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