（本小题满分10分）方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，-优题课

（本小题满分10分）
方法介绍：
同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.
例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？
这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.

学以致用：
（1）根据图②回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛；
（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛.
问题解决：
（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？
（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了.

问题拓展：
根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：一元二次方程的最值

端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为 $A)$ ，豆沙粽子（记为 $B)$ ，肉粽子（记为 $C)$ ，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．

最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：

品种

项目

产量（斤 $/$ 每棚）

销售价（元 $/$ 每斤）

成本（元 $/$ 每棚）

香瓜

2000

8000

甜瓜

4500

5000

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为 $x$ 个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为 $y$ 元．

根据以上提供的信息，请你解答下列问题：

（1）求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．

某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的 $A$ 处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端 $M$ 点的仰角为 $23 °$ ，此时测得小军的眼睛距地面的高度 $AB$ 为1.7米，然后，小军在 $A$ 处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端 $M$ 点的仰角为 $24 °$ ，这时测得小军的眼睛距地面的高度 $AC$ 为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 $AN$ 的长（结果精确到1米）．（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907$ ， $\cos 23 ° \approx 0.9205$ ， $\tan 23 ° \approx 0.4245$ ， $\sin 24 ° \approx 0.4067$ ， $\cos 24 ° \approx 0.9135$ ， $\tan 24 ° \approx 0.4452$ ． $)$

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $AD$ 和 $CD$ 上的点，且 $AE = CF$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ 交于点 $G$ ．求证： $AG = CG$ ．

养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 $x$ （分钟）进行了调查．现把调查结果分成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

分组	早锻炼时间 $/$ 分钟
$A$	$0 ~ 10$
$B$	$10 ~ 20$
$C$	$20 ~ 30$
$D$	$30 ~ 40$

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在　　区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨 $7 : 00 ~ 7 : 40$ 之间的锻炼）