（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A满足：．-优题课

（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A满足：．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值以及对应到一个特征向量；

科目数学题型解答题难度较难

已知数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $: x_{1} = 1, x_{n} = x_{n + 1} + \ln (1 + x_{n + 1}) (n \in N^{*})$ .

证明: 当 $n \in N^{*}$ 时,

( I ) $0 < x_{n + 1} < x_{n}$ ;

( II ) $2 x_{n + 1} - x_{n} ⩽ \frac{x_{n} x_{n + 1}}{2}$ ;

( III ) $\frac{1}{2^{n - 1}} ⩽ x_{n} ⩽ \frac{1}{2^{n - 2}}$ .

如图,已知抛物线 $x^{2} = y$ , 点 $A (- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}), B (\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ , 抛物线上的点 $P (x, y)$

$(- \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}) .$ 过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

( I ) 求直线 $AP$ 斜率的取值范围；

( II ) 求 $| PA | \cdot | PQ |$ 的最大值。

已知函数 $f (x) = (x - \sqrt{2 x - 1}) e^{- x} (x ⩾ \frac{1}{2})$ .

( I ) 求 $f (x)$ 的导函数;

( II ) 求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ 上的取值范围.

如图,已知四棱锥 $P - ABCD, △ PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形, $BC / / AD$ , $CD ⊥ AD, PC = AD = 2 D C = 2 CB, E$ 为 $PD$ 的中点.

（I ) 证明: $CE / /$ 平面 $PAB$ ;

( II )求直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .

( I ) 求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值;

( II )求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；