（本小题满分13分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且
APB面积的最大值为2
．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
选修4—4坐标系与参数方程
已知两点
、
的极坐标分别为
，
．
（Ⅰ）求、两点间的距离；
（Ⅱ）以极坐标系的极点
为直角坐标系的原点，极轴为
轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，求直线
的参数方程．
选修4—1几何证明选讲
已知△
内接于⊙
，
为⊙的切线，
为直线
上一点，过点作
的平行线交直线于点
，交直线
于点
．
（Ⅰ）如图甲，求证：当点在线段上时，
；
（Ⅱ）如图乙，当点在线段的延长线上时，（Ⅰ）的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
设函数
．
（Ⅰ）若函数
在定义域上是单调函数，求
的取值范围；
（Ⅱ）若
，证明对于任意的
，不等式
．
如图在
中，三个顶点坐标分别为
，
，
，曲线
过
点且曲线上任一点
满足
是定值．
（Ⅰ）求出曲线的标准方程；
（Ⅱ）设曲线与
轴，
轴的交点分别为
、
，
是否存在斜率为
的直线
过定点
与曲线交于不同的两点
、
，且向量
与
共线．若存在，求出此直线方程；若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
底面，且
,
,点
是
中点．
（Ⅰ）若
为
中点，证明：
//平面
；
（Ⅱ）若是边上任一点，证明：
；
（Ⅲ）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．