解方程（1）（2）-优题课

《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ．

（1）作 $∠ ACB$ 的平分线交 $AB$ 边于点 $O$ ，再以点 $O$ 为圆心， $OB$ 的长为半径作 $⊙ O$ ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中 $AC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，直接写出结果．

已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (6, 0)$ 、 $B (- \frac{5}{4}$ ， $0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过抛物线上点 $M (1, 3)$ 作 $MN ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，连接 $OM$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将 $ΔOMN$ 沿 $x$ 轴向右平移 $t$ 个单位 $(0 ⩽ t ⩽ 5)$ 到△ $O' M' N'$ 的位置， $M' N'$ 、 $M' O'$ 与直线 $AC$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

①当点 $F$ 为 $M' O'$ 的中点时，求 $t$ 的值；

②如图2，若直线 $M' N'$ 与抛物线相交于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH / / M' O'$ 交 $AC$ 于点 $H$ ，试确定线段 $EH$ 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $Rt Δ ABC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到 $Rt Δ ADE$ 的位置，点 $E$ 在斜边 $AB$ 上，连接 $BD$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若点 $F$ 与点 $A$ 重合，求证： $AC = BC$ ；

（2）若 $∠ DAF = ∠ DBA$ ，

①如图2，当点 $F$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，判断线段 $AF$ 与线段 $BE$ 的数量关系，并说明理由；

②当点 $F$ 在线段 $CA$ 上时，设 $BE = x$ ，请用含 $x$ 的代数式表示线段 $AF$ ．

如图，“中国海监50”正在南海海域 $A$ 处巡逻，岛礁 $B$ 上的中国海军发现点 $A$ 在点 $B$ 的正西方向上，岛礁 $C$ 上的中国海军发现点 $A$ 在点 $C$ 的南偏东 $30 °$ 方向上，已知点 $C$ 在点 $B$ 的北偏西 $60 °$ 方向上，且 $B$ 、 $C$ 两地相距120海里．

（1）求出此时点 $A$ 到岛礁 $C$ 的距离；

（2）若“中海监50”从 $A$ 处沿 $AC$ 方向向岛礁 $C$ 驶去，当到达点 $A'$ 时，测得点 $B$ 在 $A'$ 的南偏东 $75 °$ 的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注 $:$ 结果保留根号）