解三角不等式组-优题课

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解三角不等式组

科目数学题型解答题难度中等

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设数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \in N_{+}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列, $T_{n}$ 为前 $n$ 项和,且 $b_{1} = b_{2}, b_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,求 $T_{20}$ ．

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A, A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两 $P, P `$ ，过 $P, P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．求 $△ P P ` Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程．

对正整数 $n$ ，记 $I_{n} = {1, 2, 3 . . . n}$ ， $P_{n} = {\frac{m}{\sqrt{k}} | m \in I_{n}, k \in I_{n}}$ ．
（1）求集合 $P_{7}$ 中元素的个数；
（2）若 $P_{n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为"稀疏集"．求 $n$ 的最大值，使 $P_{n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并集．

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$ 、 $A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$ 、 $P `$ ，过 $P$ 、 $P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q ⊥ P ` Q$ ，求圆 $Q$ 的标准方程．

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + \sqrt{2} a b = c^{2}$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）设 $\cos A \cos B = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\frac{\cos (α + A) \cos (α + B)}{\cos^{2} α} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求 $\tan α$ 的值．

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