（本小题满分12分）已知函数
的图像过点
．
（1）求
的值；
（2）将函数
图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，求函数在
上的最大值和最小值．
如图，圆柱
内有一个三棱柱
，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）设AB=
，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为
。
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面
与平面
所成的角为
，当取最大值时，求
的值。
设
是不等式
的解集，整数
。
（1）记使得“
成立的有序数组
”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设
，求
的分布列及其数学期望
。
已知
是否存在自然数
，使对任意
，都有整除
？如果存在，求出的最大值，并证明；若不存在，说明理由．
、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
（3）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间
的分布列、期望及方差
已知
的展开式记为
，
的展开式记为
．已知的奇数项的二项式系数的和比的偶数项的二项式系数的和大496．
（1）求中二项式系数最大的项；
（2）求中的有理项；
（3）确定实数
的值，使与中有相同的项，并求出相同的项．