个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不-优题课

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，边 $AB$ 的垂直平分线交 $AD$ 于点 $E$ ，交 $CB$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AF$ ， $BE$ ．

（1）求证： $ΔAGE ≅ ΔBGF$ ；

（2）试判断四边形 $AFBE$ 的形状，并说明理由．

如图，抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + bx + c$ 经过点 $B (3, 0)$ ， $C (0, - 2)$ ，直线 $l : y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，且与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点， $P$ 为抛物线上一动点（不与 $A$ ， $D$ 重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $l$ 下方时，过点 $P$ 作 $PM / / x$ 轴交 $l$ 于点 $M$ ， $PN / / y$ 轴交 $l$ 于点 $N$ ，求 $PM + PN$ 的最大值．

（3）设 $F$ 为直线 $l$ 上的点，以 $E$ ， $C$ ， $P$ ， $F$ 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$ 的坐标；若不能，请说明理由．

问题背景：已知 $∠ EDF$ 的顶点 $D$ 在 $ΔABC$ 的边 $AB$ 所在直线上（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $DE$ 交 $AC$ 所在直线于点 $M$ ， $DF$ 交 $BC$ 所在直线于点 $N$ ，记 $ΔADM$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔBND$ 的面积为 $S_{2}$ ．

（1）初步尝试：如图①，当 $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 6$ ， $∠ EDF = ∠ A$ ，且 $DE / / BC$ ， $AD = 2$ 时，则 $S_{1} \cdot S_{2} =$ 　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$ 沿 $AB$ 平移，使 $AD = 4$ ，再将 $∠ EDF$ 绕点 $D$ 旋转至如图②所示位置，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的值；

（3）延伸拓展：当 $ΔABC$ 是等腰三角形时，设 $∠ B = ∠ A = ∠ EDF = α$ ．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$ 在线段 $AB$ 上运动时，设 $AD = a$ ， $BD = b$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的表达式（结果用 $a$ ， $b$ 和 $α$ 的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上运动时，设 $AD = a$ ， $BD = b$ ，直接写出 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的表达式，不必写出解答过程．

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 $AB$ 与支架 $CD$ 所在直线相交于点 $O$ ，且 $OB = OD$ ，支架 $CD$ 与水平线 $AE$ 垂直， $∠ BAC = ∠ CDE = 30 °$ ， $DE = 80 cm$ ， $AC = 165 cm$ ．

（1）求支架 $CD$ 的长；

（2）求真空热水管 $AB$ 的长．（结果保留根号）

为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

课外阅读时间（单位：小时）	频数（人数）	频率
$0 < t ⩽ 2$	2	0.04
$2 < t ⩽ 4$	3	0.06
$4 < t ⩽ 6$	15	0.30
$6 < t ⩽ 8$	$a$	0.50
$t > 8$	5	$b$

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？