如图，等腰Rt△ABD中，ABAD，点M为边AD上一动点，点-优题课

某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：

代号	情况分类	家庭数
$A$	带孩子玩且关心其作业完成情况	8
$B$	只关心其作业完成情况	$m$
$C$	只带孩子玩	4
$D$	既不带孩子玩也不关心其作业完成情况	$n$

（1）求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 类家庭中抽取家长组成培训班，其比例为 $B$ 类 $20 %$ ， $C$ 、 $D$ 类各取 $60 %$ ，请你估计该培训班的家庭数；

（3）若在 $C$ 类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出 $C$ 类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．

如图，在四边形 $ABCF$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $E$ 是 $AB$ 边的中点，点 $F$ 恰是点 $E$ 关于 $AC$ 所在直线的对称点．

（1）证明：四边形 $CFAE$ 为菱形；

（2）连接 $EF$ 交 $AC$ 于点 $O$ ，若 $BC = 10$ ，求线段 $OF$ 的长．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + 6 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴与 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），将直尺 $WXYZ$ 与 $x$ 轴负方向成 $45 °$ 放置，边 $WZ$ 经过抛物线上的点 $C (4, m)$ ，与抛物线的另一交点为点 $D$ ，直尺被 $x$ 轴截得的线段 $EF = 2$ ，且 $ΔCEF$ 的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线 $AC$ 上方的抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $ΔACP$ 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿 $x$ 轴向左平移，设平移的时间为 $t$ 秒，平移后的直尺为 $W' X' Y' Z'$ ，其中边 $X' Y'$ 所在的直线与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与抛物线的其中一个交点为点 $N$ ，请直接写出当 $t$ 为何值时，可使得以 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形．

$ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 为直线 $BC$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），以 $AD$ 为边在 $AD$ 右侧作正方形 $ADEF$ ，连接 $CF$ ．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，

① $BC$ 与 $CF$ 的位置关系为：　　．

② $BC$ ， $CD$ ， $CF$ 之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上时，延长 $BA$ 交 $CF$ 于点 $G$ ，连接 $GE$ ．若已知 $AB = 2 \sqrt{2}$ ， $CD = \frac{1}{4} BC$ ，请求出 $GE$ 的长．

如图，已知 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点，连接 $AC$ ， $BC$ ，过点 $O$ 作 $OD ⊥ AC$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作半圆 $O$ 的切线交 $OD$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $BD$ 并延长交 $AE$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AE \cdot BC = AD \cdot AB$ ；

（2）若半圆 $O$ 的直径为10， $\sin ∠ BAC = \frac{3}{5}$ ，求 $AF$ 的长．