计算-优题课

荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 $p$ （元 $/$ 千克）与时间第 $t$ （天 $)$ 之间的函数关系为：

$p = \{\begin{matrix} \frac{1}{4} t + 16 (1 ⩽ t ⩽ 40, t 为整数) \\ - \frac{1}{2} t + 46 (41 ⩽ t ⩽ 80, t 为整数) \end{matrix}$ ，日销售量 $y$ （千克）与时间第 $t$ （天 $)$ 之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量 $y$ 与时间 $t$ 的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 $m (m < 7)$ 元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $t$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (k - 5) x + 1 - k = 0$ ，其中 $k$ 为常数．

（1）求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y = x^{2} + (k - 5) x + 1 - k$ 的图象不经过第三象限，求 $k$ 的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$ 的最大整数值．

如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 $AB$ 的高度，沿旗杆正前方 $2 \sqrt{3}$ 米处的点 $C$ 出发，沿斜面坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $CD$ 前进 4 米到达点 $D$ ，在点 $D$ 处安置测角仪，测得旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，量得仪器的高 $DE$ 为 1.5 米．已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内， $AB ⊥ BC$ ， $AB / / DE$ ．求旗杆 $AB$ 的高度．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．计算结果保留根号）

（1）解方程组： $\{\begin{matrix} y = 2 x - 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{matrix}$

（2）先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $OB = 25$ ， $OC = 20$ ，若点 $M$ 是边 $OC$ 上的一个动点（与点 $O$ 、 $C$ 不重合），过点 $M$ 作 $MN / / OB$ 交 $BC$ 于点 $N$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）当 $ΔMCN$ 的周长与四边形 $OMNB$ 的周长相等时，求 $CM$ 的长；

（3）在 $OB$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $ΔMNQ$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 $MN$ 的长；若不存在，请说明理由．