计算-优题课

（1）计算： $\sqrt{12} - \sqrt[3]{8} + | \sqrt{3} - 2 |$ ；

（2）化简： $(a + 3) (a - 2) - a (a - 1)$ ．

抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{7}{3} x - 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其顶点为 $D$ ．将抛物线位于直线 $l : y = t (t < \frac{25}{24})$ 上方的部分沿直线 $l$ 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$ ”形的新图象．

（1）点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的坐标分别为　，　　，　　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$ 落在点 $E$ 处．当点 $E$ 在 $ΔABC$ 内（含边界）时，求 $t$ 的取值范围；

（3）如图②，当 $t = 0$ 时，若 $Q$ 是“ $M$ ”形新图象上一动点，是否存在以 $CQ$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切于点 $P$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

问题：如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 为 $BC$ 边上一点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），将线段 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $AE$ ，连接 $EC$ ，则线段 $BC$ ， $DC$ ， $EC$ 之间满足的等量关系式为　　；

探索：如图②，在 $Rt Δ ABC$ 与 $Rt Δ ADE$ 中， $AB = AC$ ， $AD = AE$ ，将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 旋转，使点 $D$ 落在 $BC$ 边上，试探索线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = ∠ ACB = ∠ ADC = 45 °$ ．若 $BD = 9$ ， $CD = 3$ ，求 $AD$ 的长．

绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段 $EF$ 、折线 $ABCD$ 分别表示该有机产品每千克的销售价 $y_{1}$ （元）、生产成本 $y_{2}$ （元）与产量 $x (kg)$ 之间的函数关系．

（1）求该产品销售价 $y_{1}$ （元）与产量 $x (kg)$ 之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本 $y_{2}$ （元）与产量 $x (kg)$ 之间的函数关系式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第二象限内的图象相交于点 $A (m, 1)$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $ΔABO$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求直线 $BC$ 的解析式．