解方程：-优题课

某校足球队需购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球．已知 $A$ 品牌足球的单价比 $B$ 品牌足球的单价高20元，且用900元购买 $A$ 品牌足球的数量用720元购买 $B$ 品牌足球的数量相等．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球共90个，且 $A$ 品牌足球的数量不小于 $B$ 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买 $A$ 品牌足球 $m$ 个，总费用为 $W$ 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = ax - 3 a (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的一个交点为 $C$ ，且 $BC = \frac{1}{2} AC$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）当 $S_{ΔAOC} = 3$ 时，求 $a$ 和 $k$ 的值．

如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于其西北方向（北偏西 $45 °$ 方向），2小时后轮船到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得小岛 $P$ 位于其北偏东 $60 °$ 方向．求此时船与小岛 $P$ 的距离（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$ ．

某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类： $A$ 类 $- -$ 非常了解； $B$ 类 $- -$ 比较了解； $C$ 类 $- -$ 般了解； $D$ 类 $- -$ 不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息答案下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3） $D$ 类所对应扇形的圆心角的大小为　　；

（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有　　名．

如图， $AE / / BF$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AE$ 于点 $D$ ，点 $C$ 在 $BF$ 上且 $BC = AB$ ，连接 $CD$ ．求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．