选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一-优题课

已知函数 $f (x) = a x^{3} - ax - x \ln x,$ 且 $f (x) \geq 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $e^{- 2} < f (x_{0}) < 2^{- 3}$ .

设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\vec{NP} = \sqrt{2} \vec{NM}$ .

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2) 设点 Q在直线 $x = - 3$ 上，且 $\vec{OP} \cdot \vec{PQ} = 1$ .证明：过点 P且垂直于 $OQ$ 的直线 l过 C的左焦点 F.

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等比三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB = BC = \frac{1}{2} AD, ∠ BAD = ∠ ABC = 9 0^{o},$ $E$ 是 $PD$ 的中点.

（1）证明：直线 $CE / /$ 平面 $PAB$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $4 5^{o}$ ，求二面角 $M - AB - D$ 的余弦值.

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$ΔABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $\sin (A + C) = 8 \sin^{2} \frac{B}{2}$ ．

(1)求 $\cos B$

(2)若 $a + c = 6$ , $ΔABC$ 面积为2，求 $b .$