解方程：（1）（2）．-优题课

如图，点 $E$ 是平行四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上一点，且 $AE = AD$ ．

（1）作出 $∠ BAD$ 的平分线，交 $CD$ 于点 $F$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $EF$ ，求证：四边形 $ADFE$ 是菱形．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 2$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ，点 $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 $P$ 在第一象限内，当 $OD = 4 PE$ 时，求四边形 $POBE$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，点 $N$ 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $M$ 和点 $N$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $AB$ 边上的一点，点 $F$ 为对角线 $BD$ 上的一点，且 $EF ⊥ AB$ ．

（1）若四边形 $ABCD$ 为正方形．

①如图1，请直接写出 $AE$ 与 $DF$ 的数量关系　 $DF = \sqrt{2} AE$ 　；

②将 $ΔEBF$ 绕点 $B$ 逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $AE$ ， $DF$ ，猜想 $AE$ 与 $DF$ 的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $ABCD$ 为矩形， $BC = mAB$ ，其它条件都不变，将 $ΔEBF$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到△ $E^{'} B F^{'}$ ，连接 $A E^{'}$ ， $D F^{'}$ ，请在图3中画出草图，并直接写出 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 的数量关系．

夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．

（1）设第 $x$ 天生产空调 $y$ 台，直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第 $x$ 天的利润为 $W$ 元，试求 $W$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

如图，点 $E$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $C$ 是 $\hat{BE}$ 的中点，过点 $C$ 作 $CD$ 垂直于 $AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ， $BF = 15$ ，求 $AC$ 的长．