（本小题10分）如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置-优题课

（本小题10分）
如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中90°，30°，．

（1）操作发现
如图②，固定△，将△绕点旋转，当点恰好落在边上时，m]
①= °，旋转角α= °（0＜α＜90），线段与的位置关系是；
②设△的面积为，△的面积为，则与的数量关系是；
（2）猜想论证
当△绕点旋转到图③所示的位置时，小明猜想（Ⅰ）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△和△中，边上的高，，请你证明小明的猜想；

（3）拓展探究
如图④，60°，平分，，∥交于点．若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心对称式和轮换对称式

如图，已知直线 $l : y = kx + 2 (k < 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，以 $OA$ 为直径的 $⊙ P$ 交 $l$ 于另一点 $D$ ，把弧 $AD$ 沿直线 $l$ 翻转后与 $OA$ 交于点 $E$ .

（1）当 $k = - 2$ 时，求 $OE$ 的长;

（2）是否存在实数 $k (k < 0)$ ，使沿直线 $l$ 把弧 $AD$ 翻转后所得的弧与 $OA$ 相切?若存在，请求出此时 $k$ 的值;若不存在，请说明理由.

如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ O_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A (2, 0), B (t + 2, 0)$ （且 $t > 0)$ 两点，与 $y$ 轴相切于点 $C, AB = AC$ .

（1）求点 $C, O_{1}$ 的坐标和 $t$ 的值;

（2）求过点 $A, B, C$ 的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$ ，判断点 $D$ 与 $⊙ O_{1}$ 的位置关系，并求出 $△ ABD$ 的外接圆半径.

如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线 $BM$ ，点 $P$ 在右半圆上移动（点 $P$ 与点 $A, B$ 不重合），过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ ，垂足为 $C$ .点 $Q$ 在射线 $BM$ 上移动（点 $M$ 在点 $B$ 的右边），且在移动过程中保持 $OQ / / AP$ .

（1）若 $PC, QO$ 的延长线相交于点 $E$ ，判断是否存在点 $P$ ，使得点 $E$ 恰好在 $⊙ O$ 上?若存在，求出 $∠ APC$ 的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $AQ$ 交 $PC$ 于点 $F$ ，设 $k = \frac{PF}{PC}$ ，试问: $k$ 的值是否随点 $P$ 的移动而变化?证明你的结论.

如图， $AB$ 是半圆的直径，弦 $CD / / AB$ ，过点 $B$ 的切线交 $AD$ 的延长线于点 $E, EF ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$ .求证: $AC = CF$ .

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