如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如-优题课

如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等。D为AC上一点，且BDDC₁．

（1）求证：直线AB₁∥平面BDC₁
（2）求点A到平面BDC₁的距离．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：空间向量的应用平行线法

定义 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\} :$ 对 $p \in R$ , 满足:

① $a_{1} + p ⩾ 0, a_{2} + p = 0$ ;

② $\forall n \in N^{*}, a_{4 n - 1} < a_{4 n}$ ;

③ $\forall m, n \in N^{*}, a_{m + n} \in \{a_{m} + a_{n} + p, a_{m} + a_{n} + p + 1\}$ .

(1) 对前 4 项 $2, - 2, 0, 1$ 的数列, 可以是 $R_{2}$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\{a_{n}\}$ 是 $R_{0}$ 数列, 求 $a_{5}$ 的值.

(3) 是否存在 $p \in R$ , 使得存在 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\}$ , 对任意 $n \in N^{*}$ , 满足 $S_{n} ⩾ S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$ ; 若不存在, 请说明理由.

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, - 2)$ , 以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2) 过点 $P (0, - 3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ , 直线 $AB, AC$ 交 $y = - 3$ 于点 $M, N$ , 若 $|PM| + |PN| ⩽ 15$ , 求 $k$ 的取值范围.

已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ .

(1) 若 $a = 0$ , 求 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2) 若函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值, 求 $f (x)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“ $k$ 合 1 检测法", 即将 $k$ 个人的拭自样本合并检测, 若为阴性, 则可确定有样本都是阴性的; 若为阳性, 则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 100 人, 已知其中 2 人感染病毒.

(1) ①若采用“ 10 合 1 检测法”, 且两名感染患者在同一组, 求总检测次数.

② 已知 10 人分成一组, 分 10 组, 两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ , 定义随机变量 $X$ 为总检测次数, 求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

(2) 若采用“ 5 合 1 检测法”, 检测次数 $Y$ 的期望为 $E (Y)$ , 试比较 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小（直接写出结果).

已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , 点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点, 直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $CDE$ 于点 $F$ .

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点, 且二面角 $M - CF - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ , 求 $\frac{|A_{1} M|}{|A_{1} B_{1}|}$ .