因式分解（第（1）题4分，第（2）题5分）（1）．（2）．-优题课

某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价 $x$ 元 $(x$ 为正整数），每月的销量为 $y$ 箱．

（1）写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式和自变量 $x$ 的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求实数 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 + x_{1} x_{2}$ ，求实数 $k$ 的值．

计算： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ．

计算： $| - 2 | + \sqrt[3]{- 8} - {(- 1)}^{2017}$ ．

如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $A$ 出发，运动时间为 $t$ 秒．其中点 $P$ 沿射线 $AB$ 运动，速度为每秒4个单位长度，点 $Q$ 沿射线 $AO$ 运动，速度为每秒5个单位长度．以点 $Q$ 为圆心， $PQ$ 长为半径作 $⊙ Q$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 是 $⊙ Q$ 的切线；

（2）过点 $A$ 左侧 $x$ 轴上的任意一点 $C (m, 0)$ ，作直线 $AB$ 的垂线 $CM$ ，垂足为 $M$ ．若 $CM$ 与 $⊙ Q$ 相切于点 $D$ ，求 $m$ 与 $t$ 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $C$ ，直线 $AB$ 、 $CM$ 、 $y$ 轴与 $⊙ Q$ 同时相切？若存在，请直接写出此时点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．