有一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，直线 $MN$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $BD ⊥ MN$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $∠ ABC = ∠ CBD$ ；

（2）若 $BC = 4 \sqrt{5}$ ， $CD = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径是　　．

2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．

（1）求甲种树苗每棵多少元？

（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为 $x$ 小时，将做家务的总时间分为五个类别： $A (0 ⩽ x < 10)$ ， $B (10 ⩽ x < 20)$ ， $C (20 ⩽ x < 30)$ ， $D (30 ⩽ x < 40)$ ， $E (x ⩾ 40)$ ．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

（3）扇形统计图中 $m$ 的值是　　，类别 $D$ 所对应的扇形圆心角的度数是　　度；

（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．

如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和点 $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点， $AE = CF$ ， $DF = BE$ ，且 $DF / / BE$ ，过点 $C$ 作 $CG ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；

（2）若 $\tan ∠ CAB = \frac{2}{5}$ ， $∠ CBG = 45 °$ ， $BC = 4 \sqrt{2}$ ，则 $▱ ABCD$ 的面积是　　．

为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 $B$ 的概率是　　．

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 $D$ 的概率．