为推广阳光体育大课间活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心-优题课

为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目。为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调査结果绘制成如图①、②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

（1）在这项调査中，共调査了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整；
（3）若调査到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

A
10%

科目数学题型解答题难度中等

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{1}{2} x + 1 < 7 - \frac{3}{2} x, \\ \frac{3 x - 2}{3} ⩾ \frac{x}{3} + \frac{x - 4}{4}, \end{matrix}$ 并写出它的所有整数解．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = AC$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $BC$ ， $CD$ 上， $BE = CG$ ， $AF$ 平分 $∠ EAG$ ，点 $H$ 是线段 $AF$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $ΔAEH ≅ ΔAGH$ ；

（2）当 $AB = 12$ ， $BE = 4$ 时．

求 $ΔDGH$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $AC$ 的中点，是否存在直线 $OH$ 将 $ΔACE$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1 : 3$ ．若存在，请求出 $\frac{AH}{AF}$ 的值；若不存在，请说明理由．

我们把方程 ${(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}$ 称为圆心为 $(m, n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1, - 2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ．在平面直角坐标系中， $⊙ C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8, 0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D (0, 4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $⊙ C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $AE$ 与 $⊙ C$ 的位置关系，并说明理由．

为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．

（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；

（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？

在 $ΔABC$ 中， $BC$ 边的长为 $x$ ， $BC$ 边上的高为 $y$ ， $ΔABC$ 的面积为2．

（1） $y$ 关于 $x$ 的函数关系式是　　， $x$ 的取值范围是　　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线 $y = - x + 3$ 向上平移 $a (a > 0)$ 个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 $a$ 的值．

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