（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，其中．（1）求数-优题课

已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，且椭圆 $C$ 经过点 $P (\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率：
（II）设过点 $A (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{| A Q |^{2}} = \frac{1}{| A M |^{2}} + \frac{1}{| A N |^{2}}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程．

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C = 2 A A_{1}$ ， $∠ B A C =$ 120°， $D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A D$ 的中点．

（I）在平面 $A B C$ 内，试做出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$ ，说明理由，并证明直线 $l ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，求二面角 $A - A_{1} M - N$ 的余弦值．

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生

（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $p_{i} (i = 1, 2, 3)$ ；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 $n$ 次后，统计记录输出y的值为 $i (i = 1, 2, 3 ）$ 的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计图（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当 $n = 2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为 $i (i = 1, 2, 3 ）$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出 $y$ 的值为2的次数 $ξ$ 的分布列及数学期望．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $2 \cos^{2} \frac{A - B}{2} \cos B - \sin (A - B) \sin B + \cos (A + C) = - \frac{3}{5}$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
（2）若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 8$ ，且 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 和 $a_{9}$ 的等比中项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的首项，公差及前 $n$ 项和．