（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是的菱形，且与底面ABC垂直，AC=CB=2，且AC⊥CB．

（Ⅰ）求证：AC₁⊥面A₁BC；
（Ⅱ）求直线A₁B与面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B—A₁A—C的正切值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：空间向量的应用

函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的部分图象如图所示.
（1）写出 $f (x)$ 的最小正周期及图中 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上的最大值和最小值.

已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{1} = 3, a_{4} = 12$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4, b_{4} = 20$ ，且 ${b_{n} - a_{n}}$ 是等比数列.
（1）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（2）求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆E于A,B两点， $|A F_{1}| = 3 |B F_{1}|$

（1）若 $|A B| = 4, ∆ A B F_{2}$ 的周长为16，求 $|A F_{2}|$ ；
（2）若 $\cos ∠ A F_{2} B = \frac{3}{5}$ ，求椭圆E的离心率.

设函数 $f (x) = 1 + (1 + a) x - x^{2} - x^{3}$ ，其中 $a > 0$ ;

（1）讨论 $f (x)$ 在其定义域上的单调性；
（2）当 $x \in [0, 1]$ 时，求 $f (x)$ 取得最大值和最小值时的 $x$ 的值.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ .点 $G, E, F, H$ 分别是棱 $P B, A B, C D, P C$ 上共面的四点，平面 $G E F H ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C / /$ 平面 $G E F H$ .
(1)证明： $G H / / E F$

(2)若 $E B = 2$ ，求四边形 $G E F H$ 的面积.

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