（年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与-优题课

先化简： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div （ a - \frac{2 a}{a + 1} ）$ ，再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．

计算： $（ 3.14 ﹣ π ） 0 - \sqrt{27} + | 1 - \sqrt{3} | + 4 \sin 60 °$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段 $OE$ 绕着点 $O$ 沿顺时针方向旋转得到线段 $O E^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AE'$ ， $BE'$ ，求 $BE' + \frac{1}{3} AE'$ 的最小值；

（3） $M$ 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 $N$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $AD$ 上的两点，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ，则 $\frac{DE}{CF}$ 的值为　　；

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 7$ ， $CD = 4$ ，点 $E$ 是 $AD$ 上的一点，连接 $CE$ ， $BD$ ，且 $CE ⊥ BD$ ，则 $\frac{CE}{BD}$ 的值为　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $AB$ 上一点，连接 $DE$ ，过点 $C$ 作 $DE$ 的垂线交 $ED$ 的延长线于点 $G$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $DE \cdot AB = CF \cdot AD$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $Rt Δ ABD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $AD = 9$ ， $\tan ∠ ADB = \frac{1}{3}$ ，将 $ΔABD$ 沿 $BD$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $ΔCBD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ ， $AD$ 上，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ．

①求 $\frac{DE}{CF}$ 的值；

②连接 $BF$ ，若 $AE = 1$ ，写出 $BF$ 的长度．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点 $(C$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合）连接 $AC$ ， $BC$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $D$ ．将 $ΔACD$ 沿 $AC$ 翻折，点 $D$ 落在点 $E$ 处得 $ΔACE$ ， $AE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ BAC = 15 °$ ， $OA = 2$ ，求阴影部分面积．