（年湖南岳阳10分）如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，-优题课

（年湖南岳阳10分）如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

如图已知函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = mx + 5 (m < 0)$ 的图象相交不同的点 $A$ 、 $B$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $AO$ ，其中点 $A$ 的横坐标为 $x_{0}$ ， $ΔAOD$ 的面积为2．

（1）求 $k$ 的值及 $x_{0} = 4$ 时 $m$ 的值；

（2）记 $[]$ 表示为不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[1.4] = 1$ ， $[2] = 2$ ，设 $t = OD \cdot DC$ ，若 $- \frac{3}{2} < m < - \frac{5}{4}$ ，求 $[m^{2} \cdot t]$ 值．

如图，在 $Rt Δ ABM$ 和 $Rt Δ ADN$ 的斜边分别为正方形的边 $AB$ 和 $AD$ ，其中 $AM = AN$ ．

（1）求证： $Rt Δ ABM ≅ Rt Δ AND$ ；

（2）线段 $MN$ 与线段 $AD$ 相交于 $T$ ，若 $AT = \frac{1}{4} AD$ ，求 $\tan ∠ ABM$ 的值．

如图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 都垂直，垂足分别为点 $A$ 、点 $B$ 和点 $C$ ，（高速路右侧边缘）， $l_{2}$ 上的点 $M$ 位于点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向上，且 $BM = \sqrt{3}$ 千米， $l_{3}$ 上的点 $N$ 位于点 $M$ 的北偏东 $α$ 方向上，且 $\cos α = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ， $MN = 2 \sqrt{13}$ 千米，点 $A$ 和点 $N$ 是城际线 $L$ 上的两个相邻的站点．

（1）求 $l_{2}$ 和 $l_{3}$ 之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米 $/$ 小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 $A$ 到站点 $N$ 需要多少小时？（结果用分数表示）

为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区 $A$ 学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）

分数	人数
85.5以下	10
85.5以上	35
96.5以上	8

（1）求 $A$ 学校参加本次考试的教师人数；

（2）若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；

（3）求 $A$ 学校参考教师本次考试成绩 $85.5 ~ 96.5$ 分之间的人数占该校参考人数的百分比．

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　　；

②在凸四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ 且 $CB \neq CD$ ，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” $)$

（2）如图1， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是半径为1的 $⊙ O$ 上按逆时针方向排列的四个动点， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ， $∠ ADB - ∠ CDB = ∠ ABD - ∠ CBD$ ，当 $6 ⩽ A C^{2} + B D^{2} ⩽ 7$ 时，求 $OE$ 的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a > 0$ ， $c < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点（点 $A$ 在点 $C$ 的左侧）， $B$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $D$ 的坐标为 $(0, - ac)$ ，记“十字形” $ABCD$ 的面积为 $S$ ，记 $ΔAOB$ ， $ΔCOD$ ， $ΔAOD$ ， $ΔBOC$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ；② $\sqrt{S} = \sqrt{S_{3}} + \sqrt{S_{4}}$ ；③“十字形” $ABCD$ 的周长为 $12 \sqrt{10}$ ．