如图，在中，．（1）按以下步骤作图并保留作图痕迹．①以点为圆-优题课

如图，在中，．

（1）按以下步骤作图并保留作图痕迹．
①以点为圆心，以小于长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画射线交于点．
（2）求证：是的平分线．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1）和图（2） $) :$

（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注 $:$ 在所补小矩形上方标出人数）；

（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？

如图， $AB = AC$ ， $AB ⊥ AC$ ， $AD ⊥ AE$ ，且 $∠ ABD = ∠ ACE$ ．

求证： $BD = CE$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；

（2）如图1，连接 $OP$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，当 $S_{ΔCPD} : S_{ΔBPD} = 1 : 2$ 时，请求出点 $D$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E$ 的坐标为 $(0, - 1)$ ，点 $G$ 为 $x$ 轴负半轴上的一点， $∠ OGE = 15 °$ ，连接 $PE$ ，若 $∠ PEG = 2 ∠ OGE$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

（4）如图3，是否存在点 $P$ ，使四边形 $BOCP$ 的面积为8？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：

对于三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的平均数，用 $\min {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最小的数，例如 $M {1$ ，2， $9} = \frac{1 + 2 + 9}{3} = 4$ ， $\min {1$ ，2， $- 3} = - 3$ ， $\min (3$ ，1， $1} = 1$ ．请结合上述材料，解决下列问题：

（1）① $M {{(- 2)}^{2}$ ， $2^{2}$ ， $- 2^{2}} =$ 　；

② $\min {\sin 30 °$ ， $\cos 60 °$ ， $\tan 45 °} =$ 　　；

（2）若 $\min (3 - 2 x$ ， $1 + 3 x$ ， $- 5} = - 5$ ，则 $x$ 的取值范围为　　；

（3）若 $M {- 2 x$ ， $x^{2}$ ， $3} = 2$ ，求 $x$ 的值；

（4）如果 $M {2$ ， $1 + x$ ， $2 x} = \min {2$ ， $1 + x$ ， $2 x}$ ，求 $x$ 的值．

某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价 $x$ （元 $)$ 与该土特产的日销售量 $y$ （袋 $)$ 之间的关系如表：

$x$ （元 $)$	15	20	30	$\dots$
$y$ （袋 $)$	25	20	10	$\dots$

若日销售量 $y$ 是销售价 $x$ 的一次函数，试求：

（1）日销售量 $y$ （袋 $)$ 与销售价 $x$ （元 $)$ 的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？