（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）已知-优题课

题文

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）
已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆的方程的应用

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如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为 $\frac{m}{n} S$ . 假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，以X表示落入M中的点的数目.
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表： $P (k) = \sum_{i = 0}^{λ} C_{10000}^{1} \times 0 . 25^{λ} \times 0 . 75^{10000 - i}$

在平面直角坐标系 $x o y$ 中，经过点 $(0, \sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\underset{O P}{\to} + \underset{O Q}{\to}$ 与 $\underset{A B}{\to}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中, 侧面 $S A B$ 与侧面 $S A C$ 均为等边三角形, $∠ B A C = 90^{°}$ , $O$ 为 $B C$ 中点.
（Ⅰ）证明： $S O ⊥$ 平面 $A B C$

（Ⅱ）求二面角 $A - S C - B$ 的余弦值.

如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $∠ B C D = α$ ， $∠ B C D = β$ ， $C D = s$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，求塔高 $A B$ .

已知函数 $f (x) = x_{2} + x - 1$ ， $α$ 、 $β$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根( $α > β$ )， $f ` (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，设 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f (a_{n})}{f ` (a_{n})} (n = 1, 2, . . .)$ （n=1，2，…），

(Ⅰ)求 $α$ 、 $β$ 的值；

(Ⅱ)已知对任意的正整数 $n$ 有 $a_{n} ＞ α$ ，记 $b_{n} = \ln \frac{a_{n} - β}{a_{n} - α} (n = 1, 2, . . .)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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