（本题10分）（1）计算：．（2）解方程：．-优题课

如图，在一条笔直的东西向海岸线 $l$ 上有一长为 $1.5 km$ 的码头 $MN$ 和灯塔 $C$ ，灯塔 $C$ 距码头的东端 $N$ 有 $20 km$ ．一轮船以 $36 km / h$ 的速度航行，上午 $10 : 00$ 在 $A$ 处测得灯塔 $C$ 位于轮船的北偏西 $30 °$ 方向，上午 $10 : 40$ 在 $B$ 处测得灯塔 $C$ 位于轮船的北偏东 $60 °$ 方向，且与灯塔 $C$ 相距 $12 km$ ．

（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？

（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

如图，在 $▱ ABCD$ 中，已知 $AD > AB$ ．

（1）实践与操作：作 $∠ BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$ ，在 $AD$ 上截取 $AF = AB$ ，连接 $EF$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形 $ABEF$ 的形状，并给予证明．

达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注 $. 5$ 月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．

八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表

去图书馆的次数	0次	1次	2次	3次	4次及以上
人数	8	12	$a$	10	4

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；

（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2} - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - \frac{8}{3})$ ，顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$ ，过点 $H$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $Q$ 在 $y$ 轴的右侧．

（1）求 $a$ 的值及点 $A$ ， $B$ 的坐标；

（2）当直线 $l$ 将四边形 $ABCD$ 分为面积比为 $3 : 7$ 的两部分时，求直线 $l$ 的函数表达式；

（3）当点 $P$ 位于第二象限时，设 $PQ$ 的中点为 $M$ ，点 $N$ 在抛物线上，则以 $DP$ 为对角线的四边形 $DMPN$ 能否为菱形？若能，求出点 $N$ 的坐标；若不能，请说明理由．

如图①， $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 45 °$ ， $AH ⊥ BC$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $AH$ 上，且 $DH = CH$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BD = AC$ ；

（2）将 $ΔBHD$ 绕点 $H$ 旋转，得到 $ΔEHF$ （点 $B$ ， $D$ 分别与点 $E$ ， $F$ 对应），连接 $AE$ ．

①如图②，当点 $F$ 落在 $AC$ 上时， $(F$ 不与 $C$ 重合），若 $BC = 4$ ， $\tan C = 3$ ，求 $AE$ 的长；

②如图③，当 $ΔEHF$ 是由 $ΔBHD$ 绕点 $H$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到时，设射线 $CF$ 与 $AE$ 相交于点 $G$ ，连接 $GH$ ，试探究线段 $GH$ 与 $EF$ 之间满足的等量关系，并说明理由．