在△ABC中，ABAC，BDCD，CE⊥AB于E，求证：△A-优题课

江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水， $40 min$ 可以抽完池塘里的蓄水；如果用 $4$ 台抽水机抽水， $16 min$ 可以抽完；如果要在 $10 min$ 内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台?

有一个四位数，把它从中间分成两半.得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个 $0$ ，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为 $5$ ，试求这个四位数.

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 $1$ 的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为 $S$ ，它各边上格点的个数和为 $x$ ．

（1）图①-④中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出 $S$ 与 $x$ 之间的关系式．

答 $S =$ ＿＿＿＿＿．

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有 $2$ 个格点.此时所画的各个多边形的面积 $S$ 与它各边上格点的个数和 $x$ 之间的关系是： $S =$ ＿＿＿＿＿．

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有 $n$ 个格点时，猜想 $S$ 与 $x$ 有怎样的关系?

如图，三角形 $ABC$ 内的线段 $BD$ ， $CE$ 相交于点 $O$ ，已知 $OB = OD$ ， $OC = 2 OE$ .设 $△ BOE, △ BOC, △ COD$ 和四边形 $AEOD$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ ．

（1）求 $S_{1} : S_{3}$ 的值；

（2）如果 $S_{2} = 2$ ，求 $S_{4}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，有 $A (0, 5), B (5, 0), C (0, 3), D (3, 0)$ 且 $AD$ 与 $BC$ 相交于点 $E$ ，求 $△ ABE$ 的面积．