如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过 $O(0,0)$、 $A(1,0)$、 $B(\frac{3}{2}$， $\frac{\sqrt{3}}{2})$三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 $\mathit{OB}$的垂直平分线与 $y$轴交于点 $C$，与二次函数的图象在 $x$轴上方的部分相交于点 $D$，求直线 $\mathit{CD}$的解析式；

（3）在直线 $\mathit{CD}$下方的二次函数的图象上有一动点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴，交直线 $\mathit{CD}$于 $Q$，当线段 $\mathit{PQ}$的长最大时，求点 $P$的坐标．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题