如图，已知直线 $l:y=-x+5$．

（1）当反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象与直线 $l$在第一象限内至少有一个交点时，求 $k$的取值范围．

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象与直线 $l$在第一象限内相交于点 $A(x_1$， $y_1)$、 $B(x_2$， $y_2)$，当 $x_2-x_1=3$时，求 $k$的值，并根据图象写出此时关于 $x$的不等式 $-x+5<\frac{k}{x}$的解集．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 反比例函数与一次函数的交点问题