（本题8分）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．请以图中-优题课

（本题8分）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．请以图中线段BC为边，作△PBC，
使P在格点上，并满足：

（1）图甲中的△PBC是直角三角形，且面积是△ABC面积2倍；
（2）图乙中的△PBC是等腰非直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，顶点为 $A$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，已知 $A (1, 4)$ ， $B (3, 0)$ ．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接 $OA$ ，作 $DE / / OA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ， $M$ 是 $BE$ 的中点，则 $OM$ 是否将四边形 $OBAD$ 分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2， $P (m, n)$ 是抛物线在第四象限的图象上的点，且 $m + n = - 1$ ，连接 $PA$ 、 $PC$ ，在线段 $PC$ 上确定一点 $N$ ，使 $AN$ 平分四边形 $ADCP$ 的面积，求点 $N$ 的坐标．

提示：若点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则线段 $AB$ 的中点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾 $\cdot$ 稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾 $\cdot$ 稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润 $=$ 售价 $-$ 成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降 $25 %$ ，售价下降 $10 %$ ，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元 $/$ 亩，稻谷售价为2.5元 $/$ 千克，该农户估计今年可获得“虾 $\cdot$ 稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $M$ 是斜边 $AB$ 的中点，以 $CM$ 为直径作圆 $O$ 交 $AC$ 于点 $N$ ，延长 $MN$ 至 $D$ ，使 $ND = MN$ ，连接 $AD$ 、 $CD$ ， $CD$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）判断四边形 $AMCD$ 的形状，并说明理由；

（2）求证： $ND = NE$ ；

（3）若 $DE = 2$ ， $EC = 3$ ，求 $BC$ 的长．

某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ ，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．

类别	频率
$A$	$m$
$B$	0.35
$C$	0.20
$D$	$n$
$E$	0.05

（1）求本次调查的小型汽车数量及 $m$ ， $n$ 的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．

已知，如图， $AB = AE$ ， $AB / / DE$ ， $∠ ECB = 70 °$ ， $∠ D = 110 °$ ，求证： $ΔABC ≅ ΔEAD$ ．