平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左、右焦点分别是$F_1,F_2$，以$F_1$为圆心以3为半径的圆与以$F_2$为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆$C$上.
（Ⅰ）求椭圆$C$的方程；
（Ⅱ）设椭圆$E:\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{4b^2}=1$，$P$为椭圆$C$上任意一点，过点$P$的直线$y=kx+m$交椭圆$E$于$A,B$两点，射线$PO$交椭圆$E$于点$Q$.
（i）求$\frac{\left|OQ\right|}{\left|OP\right|}$的值；
（Ⅱ）求$△ABQ$面积的最大值.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难