如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BC,BCC-优题课

如图,在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,已知 $A C ⊥ B C, B C = C C_{1}$ ,设 $A B_{1}$ 的中点为 $D$ , $B_{1} C \cap B C_{1} = E$ .

求证:

（1） $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$

（2） $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

科目数学题型解答题难度中等

如图.在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，点E在菱 $B B_{1}$ 上运动

（1）证明： $A D ⊥ C_{1} E$ ；
（2）当异面直线 $A C$ ， $C_{1} E$ 所成的角为 $60 °$ 时，求三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的体积

已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \cos (x - \frac{π}{3})$

（1）求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；
（2）求使 $f (x) < \frac{1}{4}$ 成立的 $x$ 的取值集合

设函数 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + x (x \in R)$ ．
(1) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(2) 当 $k < 0$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[k, - k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ ．

已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F (0, c) (c > 0)$ 到直线 $l : x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 为切点．
(1) 求抛物线 $C$ 的方程；
(2) 当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $A B$ 的方程；
(3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|A B| \cdot |B F|$ 的最小值．

设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 1, n \in N^{*}$ ,且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列．
(1) 证明： $a_{2} = \sqrt{4 a_{1} + 5}$ ；
(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + . . . + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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